Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Laufzeit hat LSD-Radixsort für n ganze Zahlen mit d Ziffern zur Basis k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(d(n + k))
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. AAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  2. B3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  3. CSchaltkreis-Erfüllbarkeit
  4. D2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. ADas Speichern von Matrizen
  2. BDas Finden kürzester Wege
  3. CDas Sortieren von Zahlen
  4. DPräfixsuchen wie Autovervollständigung
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin sortiertes Array aller n Werte
  2. BEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  3. CEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  4. DEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von B nach C? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(d(n + k))

Warum das die Antwort ist

Jeder der d Durchläufe ist ein Countingsort mit Kosten O(n + k), also ist der Gesamtaufwand bei festen d und k linear in n.

Antwort

D · O(d(n + k))
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

D · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

C · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)BC = 1·1 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

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