Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche amortisierte Zeitkomplexität hat das Anhängen an ein dynamisches Array, das seine Kapazität verdoppelt, wenn es voll ist?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Technik liefert für Quicksort bei jeder Eingabe eine erwartete Laufzeit von O(n log n)?

  1. ADie Eingabe vor dem Quicksort sortieren
  2. BRekursion nur auf der linken Seite verwenden
  3. CImmer das erste Element wählen
  4. DDen Pivot gleichverteilt zufällig wählen
3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.DatenstrukturenSchwer

Kahns Algorithmus zur topologischen Sortierung entfernt wiederholt Knoten mit Eingangsgrad 0. Welche Struktur hält diese Knoten?

  1. AEine Adjazenzmatrix, die festhält, welche Knoten bereits entfernt wurden
  2. BEin Stack aller besuchten Kanten
  3. CEine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
  4. DEin nach Ausgangsgrad geordneter Max-Heap
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 32 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
1392691913ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(1)

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente werden nur bei Zweierpotenzen kopiert; verteilt auf alle Anhängeoperationen sind die durchschnittlichen Kosten pro Operation konstant.

Antwort

D · O(1)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen

Warum das die Antwort ist

Mit einem zufälligen Pivot beträgt die erwartete Laufzeit für jede Eingabe O(n log n); schlechte Fälle gibt es weiterhin, sie sind aber sehr unwahrscheinlich.

Antwort

D · Den Pivot gleichverteilt zufällig wählen
3.Datenstrukturen

Antwort: C · 2h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2h ergibt 2h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

C · 2h+1 − 1
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0

Warum das die Antwort ist

Bereite Knoten werden in einer Queue gehalten; das Entfernen eines Knotens senkt den Eingangsgrad seiner Nachbarn, und jeder, der 0 erreicht, wird hinzugefügt, was O(V + E) Zeit ergibt.

Antwort

C · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
5.Graphentheorie

Antwort: L = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Antwort

L = 6

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 24

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13, C: 9
C (9): B: 11, E: 15
B (11)
E (15): D: 24, F: 24
D (24)
F (24)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 24

Antwort

d(F) = 24

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