Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Breitensuche (BFS) auf einem ungewichteten Graphen findet:

  1. ADen minimalen Spannbaum
  2. BEine topologische Sortierung in allen Graphen
  3. CKürzeste Wege in Graphen mit negativen Kantengewichten
  4. DKürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum braucht jede vergleichsbasierte Suche in einem sortierten Array im Worst Case Ω(log n) Vergleiche?

  1. AEin Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
  2. BJedes Element muss mindestens einmal verglichen werden
  3. CJeder Vergleich braucht logarithmische Zeit
  4. DDie binäre Suche ist der einzig mögliche Algorithmus und braucht log₂ n Vergleiche
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. ADen Aufrufstack (Call Stack)
  2. BEine Hashtabelle der Funktionen
  3. CEinen binären Suchbaum der Frames
  4. DDie Heap-Speicher-Queue
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Aussage über Heapsort ist richtig?

  1. AEr braucht einen binären Suchbaum als zusätzlichen Speicher und verbraucht daher O(n) zusätzlichen Speicher
  2. BEr sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
  3. CEr läuft bei jeder Eingabe in O(n)
  4. DEr ist stabil und braucht O(n) zusätzlichen Speicher
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K6? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K6
H =
6.GraphentheorieSchwer
101651720613ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten

Warum das die Antwort ist

BFS besucht Knoten in der Reihenfolge ihres Abstands (in Kanten) vom Startknoten und findet daher kürzeste ungewichtete Wege in O(V + E).

Antwort

D · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben

Warum das die Antwort ist

Jeder Vergleich halbiert die Menge der verbleibenden Möglichkeiten höchstens, also braucht die Unterscheidung von n Positionen mindestens log₂ n Vergleiche.

Antwort

A · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

A · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil

Warum das die Antwort ist

Heapsort baut einen Max-Heap und entnimmt n-mal das Maximum innerhalb desselben Arrays; Vertauschungen über große Abstände können gleiche Schlüssel umordnen.

Antwort

B · Er sortiert in place in O(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil
5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. BC (5)
2. DE (6)
3. AB (10)
4. BE (13)

Kantennummer 2

DE

Antwort

Kante DE

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