Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  2. BRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
  3. CInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
  4. DInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. ADas Halteproblem würde entscheidbar
  2. BNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  3. CAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  4. DJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

  1. ALineares Sondieren (Linear Probing)
  2. BDoppeltes Hashing (Double Hashing)
  3. CQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)
  4. DVerkettung (Separate Chaining)
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. AGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  2. BSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  3. CErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  4. DSie speichert Schlüssel ungeordnet
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K6? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K6
H =
6.GraphentheorieSchwer
1536151512ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

D · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

D · Verkettung (Separate Chaining)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

C · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60
6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 6, E: 7
3. B (6): D: 9
4. E (7): F: 12
5. D (9): F: 10
6. F (10)

Runde 5

D

Antwort

D

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