Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Held-Karp-Algorithmus der dynamischen Programmierung löst das Problem des Handlungsreisenden exakt. Welche Laufzeit hat er für n Städte?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.DatenstrukturenMittel

Eine Queue wird mit zwei Stacks implementiert: push auf einen „in“-Stack und pop von einem „out“-Stack, der aus „in“ nachgefüllt wird, wenn er leer ist. Wie hoch sind die amortisierten Kosten pro Operation?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Warum verwenden Datenbanken für Indizes oft B+-Bäume statt einfacher B-Bäume?

  1. AB+-Bäume speichern Daten nur in der Wurzel
  2. BAlle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
  3. CB+-Bäume müssen nicht balanciert sein
  4. DB+-Bäume verwenden binäre innere Knoten, was Festplattenzugriffe reduziert
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 12 Knoten und 23 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 12|E| = 23
k =
6.GraphentheorieSchwer
81471610156171812ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n² 2ⁿ)

Warum das die Antwort ist

Es gibt etwa n 2ⁿ Zustände, die jeweils in O(n) berechnet werden; das ist exponentiell, aber weit schneller, als alle (n − 1)! Rundreisen auszuprobieren.

Antwort

D · O(n² 2ⁿ)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(1)

Warum das die Antwort ist

Jedes Element wird insgesamt höchstens zweimal abgelegt und entnommen; obwohl ein einzelnes Nachfüllen O(n) dauern kann, ist der Durchschnitt über eine Folge O(1).

Antwort

A · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht

Warum das die Antwort ist

In einem B+-Baum leiten innere Knoten nur die Suche, und die Blätter sind in Schlüsselreihenfolge verkettet; eine Bereichsabfrage findet also den ersten Schlüssel und läuft dann die Blätter entlang.

Antwort

B · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

12 − 1 = 11

Zu entfernende Kanten

k = 23 − 11 = 12

Antwort

k = 12
6.Graphentheorie

Antwort: W = 60

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GB (6): nehmen
BD (7): nehmen
AC (8): nehmen
DE (10): nehmen
GE (12): überspringen, schließt einen Kreis
BC (14): nehmen
EF (15): nehmen

Gesamtgewicht

W = 6 + 7 + 8 + 10 + 14 + 15 = 60

Antwort

W = 60

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