Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Greedy-Regel liefert beim Aktivitätsauswahlproblem immer eine maximale Anzahl sich nicht überschneidender Aktivitäten?

  1. AZuerst die kürzeste Aktivität wählen
  2. BDie Aktivität wählen, die am frühesten beginnt
  3. CZuerst die Aktivität mit den wenigsten Überschneidungen wählen, dann mit den verträglichen wiederholen
  4. DDie Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche zwei Dinge müssen gezeigt werden, um zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem X NP-vollständig ist?

  1. AX hat keinen polynomiellen Algorithmus, und X ist entscheidbar
  2. BX lässt sich auf ein Problem in P reduzieren, und X liegt in NP
  3. CX liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
  4. DX liegt in P, und X lässt sich auf SAT reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Suche nach einem Schlüssel in einem balancierten binären Suchbaum?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind Zeit- und zusätzlicher Speicherbedarf, wenn man eine einfach verkettete Liste an Ort und Stelle umkehrt?

  1. AO(1) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  2. BO(n) Zeit und O(n) zusätzlicher Speicher
  3. CO(n log n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  4. DO(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 43 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
411310119151315ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen

Warum das die Antwort ist

Dass die Wahl des frühesten Endzeitpunkts optimal ist, lässt sich mit einem Austauschargument beweisen; für die anderen Regeln gibt es Gegenbeispiele.

Antwort

D · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Die Zugehörigkeit zu NP zeigt, dass X nicht schwerer als NP ist; die Reduktion von einem bekannten NP-vollständigen Problem zeigt, dass X mindestens so schwer ist wie ganz NP.

Antwort

C · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter Baum hat eine Höhe von etwa log₂ n, daher folgt eine Suche einem einzigen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt.

Antwort

C · O(log n)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher

Warum das die Antwort ist

Mit drei Zeigern (previous, current, next) kannst du jede Verbindung in einem Durchlauf umkehren, ohne neue Knoten anzulegen.

Antwort

D · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.Graphentheorie

Antwort: L = 17

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 27 = 2(L + 6) − 2
L = 17

Antwort

L = 17

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 4, C: 11
2. B (4): C: 7, D: 14, E: 19
3. C (7): E: 18
4. D (14): F: 29
5. E (18)
6. F (29)

Runde 4

D

Antwort

D

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