Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum kann der Dijkstra-Algorithmus falsche Ergebnisse liefern, wenn einige Kantengewichte negativ sind?

  1. ANegative Zahlen können nicht in einer Prioritätswarteschlange gespeichert werden
  2. BEr gerät bei jeder negativen Kante in eine Endlosschleife
  3. CEin Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
  4. DEr funktioniert nur auf ungerichteten Graphen
3.DatenstrukturenMittel

Ein Knoten in einem binären Suchbaum hat einen rechten Teilbaum. Wo liegt sein In-Order-Nachfolger?

  1. AImmer bei seinem rechten Kind
  2. BAm rechtesten Knoten seines linken Teilbaums
  3. CImmer bei seinem Elternknoten
  4. DAm linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch ist unter der Annahme des einfachen gleichverteilten Hashings die erwartete Suchzeit in einer Hashtabelle mit Chaining, n Schlüsseln und m Buckets?

  1. AO(m)
  2. BO(1 + α), wobei α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 30 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 30
k =
6.GraphentheorieSchwer
231109797ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben

Warum das die Antwort ist

Der Greedy-Schritt beruht auf nichtnegativen Gewichten, damit entnommene Distanzen endgültig sind; bei möglicherweise negativen Gewichten verwendet man Bellman-Ford.

Antwort

C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums

Warum das die Antwort ist

Alle größeren Schlüssel nahe am Knoten liegen in seinem rechten Teilbaum, und der kleinste davon ist dort der linkeste Knoten.

Antwort

D · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(1 + α), wobei α = n / m

Warum das die Antwort ist

Das Berechnen des Hashs kostet O(1), und die erwartete Kettenlänge ist α; hält man α durch Vergrößern beschränkt, ergibt sich eine erwartete Zeit von O(1).

Antwort

B · O(1 + α), wobei α = n / m
5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 30 − 18 = 12

Antwort

k = 12
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 10

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 3, E: 9
C (3)
D (3): F: 10
E (9)
F (10)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 10

Antwort

d(F) = 10

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