Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie baut der Algorithmus von Prim einen minimalen Spannbaum auf?

AEr lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
BEr sortiert alle Kanten nach Gewicht und fügt jede hinzu, sofern sie im Wald keinen Kreis bildet
CEr führt eine Breitensuche aus und behält den BFS-Baum
DEr entfernt die teuerste Kante, bis keine Kreise mehr übrig sind

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welcher Algorithmus findet einen minimalen Spannbaum, indem er wiederholt die günstigste Kante hinzufügt, die keinen Zyklus bildet?

AFloyd-Warshall
BKruskal-Algorithmus
CDijkstra-Algorithmus
DPrim-Algorithmus, ausgehend von einem Knoten

3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

AJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
BBeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
CDie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
DAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe

4.DatenstrukturenSchwer

Die Union-Find-Struktur (Disjoint Set) mit Union by Rank und Pfadkompression hat amortisierte Kosten pro Operation von:

AO(n²)
BO(n)
CO(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist
DGenau O(log n)

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

Warum das die Antwort ist

Der Algorithmus von Prim läuft mit einer Prioritätswarteschlange der kreuzenden Kanten bei einem binären Heap in O(E log V).

Antwort

A · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Kruskal-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Kruskal sortiert die Kanten nach Gewicht und fügt sie hinzu, wenn sie verschiedene Komponenten verbinden; Prim lässt einen einzigen Baum von einem Startknoten aus wachsen.

Antwort

B · Kruskal-Algorithmus

3.Datenstrukturen

Antwort: C · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

C · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

Warum das die Antwort ist

Mit beiden Optimierungen benötigen Operationen amortisiert O(α(n)) Zeit; α(n) ≤ 4 für jedes realistische n.

Antwort

C · O(α(n)), der inversen Ackermann-Funktion, die praktisch konstant ist

5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis

6.Graphentheorie

Antwort: W = 32

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

CE (3): nehmen

BC (7): nehmen

BE (9): überspringen, schließt einen Kreis

BD (10): nehmen

AB (12): nehmen

Gesamtgewicht

W = 3 + 7 + 10 + 12 = 32

Antwort

W = 32

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