Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Ebenen hat die Rekursion von Mergesort bei einem Array mit n Elementen?

  1. AEtwa n
  2. BEtwa log₂ n
  3. CEtwa √n
  4. DEtwa n / 2
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Nimmt man beide Endpunkte jeder Kante eines maximalen Matchings, erhält man eine Knotenüberdeckung. Wie gut ist diese Überdeckung?

  1. AImmer eine minimale Knotenüberdeckung
  2. BVon unbekannter Güte im Vergleich zum Optimum
  3. CHöchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
  4. DHöchstens log n-mal so groß wie das Minimum
3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

  1. ADie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
  2. BJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
  3. CAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe
  4. DBeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
4.DatenstrukturenSchwer

Wofür wird die Union-Find-Struktur in Kruskals Algorithmus für minimale Spannbäume verwendet?

  1. AUm während der Suche die aktuelle Distanz jedes Knotens von der Quelle zu speichern
  2. BUm die Kanten nach Gewicht zu sortieren
  3. CUm zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
  4. DUm den Startknoten zu wählen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
151310161267ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Etwa log₂ n

Warum das die Antwort ist

Das Halbieren von n bis auf 1 dauert etwa log₂ n Ebenen, und jede Ebene leistet O(n) Merge-Aufwand, das ergibt O(n log n).

Antwort

B · Etwa log₂ n
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung

Warum das die Antwort ist

Die Matchingkanten haben keine gemeinsamen Knoten, also braucht das Optimum mindestens einen Knoten pro Kante, während diese Methode zwei nimmt: eine 2-Approximation.

Antwort

C · Höchstens doppelt so groß wie eine minimale Knotenüberdeckung
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

A · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind

Warum das die Antwort ist

Find zeigt, ob beide Endpunkte in derselben Komponente liegen; wenn nicht, wird die Kante hinzugefügt und union verschmilzt die Komponenten.

Antwort

C · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

F, G → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 36

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

DE (6): nehmen
BE (7): nehmen
BC (10): nehmen
CE (12): überspringen, schließt einen Kreis
AC (13): nehmen

Gesamtgewicht

W = 6 + 7 + 10 + 13 = 36

Antwort

W = 36

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