Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Multiplikation zweier n × n-Matrizen mit der üblichen dreifachen Schleife?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse NP ist richtig?

  1. AEntscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
  2. BProbleme, die nicht in polynomieller Zeit gelöst werden können
  3. CProbleme, die kein Algorithmus lösen kann
  4. DProbleme, die nicht polynomiell sind
3.DatenstrukturenMittel

Eine Queue wird mit zwei Stacks implementiert: push auf einen „in“-Stack und pop von einem „out“-Stack, der aus „in“ nachgefüllt wird, wenn er leer ist. Wie hoch sind die amortisierten Kosten pro Operation?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Bloom-Filter kann die Frage „Ist dieses Element in der Menge?“ beantworten mit:

  1. AMöglichen falsch-negativen, aber keinen falsch-positiven Ergebnissen
  2. BImmer exakten Antworten
  3. CMöglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
  4. DAntworten nur für Zahlen
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
1410122915614310ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n³)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n² Einträge, und jeder braucht n Multiplikationen, das ergibt n³ Operationen.

Antwort

C · O(n³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können

Warum das die Antwort ist

Bei einem NP-Problem lässt sich eine vorgeschlagene Lösung (Zertifikat) schnell prüfen, etwa ob eine gegebene Belegung eine boolesche Formel erfüllt.

Antwort

A · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(1)

Warum das die Antwort ist

Jedes Element wird insgesamt höchstens zweimal abgelegt und entnommen; obwohl ein einzelnes Nachfüllen O(n) dauern kann, ist der Durchschnitt über eine Folge O(1).

Antwort

A · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen

Warum das die Antwort ist

Ist eines der Bits für ein Element 0, fehlt es definitiv; sind alle 1, ist es wahrscheinlich vorhanden. Bloom-Filter tauschen Genauigkeit gegen sehr wenig Speicher.

Antwort

C · Möglichen falsch-positiven, aber keinen falsch-negativen Ergebnissen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 12 = 6

Antwort

k = 6
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 40

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 14
C (14): B: 24, E: 16, G: 28
E (16): D: 25, G: 26
B (24)
D (25): F: 40
G (26)
F (40)

Kürzester Weg

A → C → E → D → F
d(F) = 40

Antwort

d(F) = 40

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