Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Auswahl des k-kleinsten Elements eines unsortierten Arrays ist richtig?

  1. ADie Auswahl braucht immer Ω(n log n), weil sie Sortieren erfordert
  2. BQuickselect läuft im Worst Case in O(log n), weil es nur auf einer Seite des Pivots rekursiv weitermacht
  3. CDie Auswahl ist nur in O(n²) möglich
  4. DQuickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  2. BEr speichert die Anzahl der Elemente
  3. CEr hält die Liste sortiert
  4. DUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
4.DatenstrukturenSchwer

Die Schlüssel 5, 3, 8, 1 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren, arraybasierten binären Min-Heap eingefügt. Wie sieht das Array am Ende aus?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 3
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case

Warum das die Antwort ist

Der erwartete Aufwand von Quickselect ist mit zufälligen Pivots n + n/2 + n/4 + ... = O(n); wählt man das Pivot als Median der Mediane, wird der Worst Case linear.

Antwort

D · Quickselect läuft erwartet in O(n), und Median-of-Medians garantiert O(n) im Worst Case
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: D · [1, 3, 8, 5]

Warum das die Antwort ist

Nach 5, 3, 8 ist das Array [3, 5, 8]; 1 kommt an Index 3, wird mit seinem Elternknoten 5 und dann mit 3 vertauscht, das ergibt [1, 3, 8, 5].

Antwort

D · [1, 3, 8, 5]
5.Graphentheorie

Antwort: L = 5

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Antwort

L = 5

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Antwort

N = 4

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