Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Multiplikation zweier n × n-Matrizen mit der üblichen dreifachen Schleife?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie wird das Problem des Handlungsreisenden (TSP) eingeordnet?

  1. ADie Entscheidungsversion liegt in P, aber die Optimierungsversion ist NP-vollständig
  2. BEs liegt in P, weil der Dijkstra-Algorithmus es löst, indem er jede Stadt einmal besucht
  3. CEs ist unentscheidbar
  4. DDie Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.DatenstrukturenMittel

In einem binären Min-Heap, der in einem Array gespeichert ist (Index beginnt bei 0), liegen die Kinder des Knotens mit Index i bei:

  1. Ai/2 und i/2 + 1
  2. B2i und 2i + 1
  3. Ci + 1 und i + 2
  4. D2i + 1 und 2i + 2
4.DatenstrukturenSchwer

Warum könnte ein Server seine Hashfunktion zufällig aus einer universellen Familie wählen?

  1. ADamit die Tabelle nicht mehr vergrößert werden muss
  2. BDamit die Hashtabelle sortiert ist
  3. CDamit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
  4. DUm zu garantieren, dass nie zwei Schlüssel kollidieren, welche Schlüssel ein Angreifer auch sendet
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 33 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
2427148210ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n³)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n² Einträge, und jeder braucht n Multiplikationen, das ergibt n³ Operationen.

Antwort

C · O(n³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer

Warum das die Antwort ist

„Gibt es eine Rundreise der Länge höchstens k?" ist NP-vollständig; die kürzeste Rundreise zu finden ist NP-schwer, da es mindestens ebenso schwer ist.

Antwort

D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: D · 2i + 1 und 2i + 2

Warum das die Antwort ist

Bei 0-basierten Arrays liegt das linke Kind bei 2i + 1, das rechte Kind bei 2i + 2 und der Elternknoten bei ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwort

D · 2i + 1 und 2i + 2
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

Warum das die Antwort ist

Beim universellen Hashing ist die erwartete Anzahl von Kollisionen für jede Schlüsselmenge klein, da der Angreifer nicht weiß, welche Funktion gewählt wurde.

Antwort

C · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
5.Graphentheorie

Antwort: L = 14

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Antwort

L = 14

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 2, C: 4
B (2): D: 9, E: 12
C (4)
D (9)
E (12): F: 14
F (14)

Kürzester Weg

A → B → E → F
d(F) = 14

Antwort

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms