Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

In einem sortierten Array suchst du zwei Elemente mit einer Zielsumme, indem du von jedem Ende einen Zeiger nach innen bewegst. Welche Zeitkomplexität hat das?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie verhalten sich n! und 2ⁿ für große n zueinander?

  1. A2ⁿ wächst schneller als n!
  2. Bn! wächst schneller als 2ⁿ
  3. Cn! ist O(n²)
  4. DSie wachsen gleich schnell
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DEs gibt kein Maximum
4.DatenstrukturenSchwer

Im BST mit Wurzel 50, linkem Teilbaum 30 (Kinder 20, 40) und rechtem Teilbaum 70 (Kinder 60, 80) wird die Wurzel mithilfe des In-Order-Nachfolgers gelöscht. Welcher Schlüssel wird die neue Wurzel?

  1. A40
  2. B80
  3. C70
  4. D60
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 5, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
201891281410ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ist die Summe zu klein, rückt der linke Zeiger nach rechts, ist sie zu groß, rückt der rechte Zeiger nach links; es gibt also höchstens n Schritte.

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · n! wächst schneller als 2ⁿ

Warum das die Antwort ist

Für n ≥ 4 übersteigt n! den Wert 2ⁿ, und das Verhältnis wächst unbeschränkt, weil jeder weitere Faktor von n! größer als 2 ist.

Antwort

B · n! wächst schneller als 2ⁿ
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

A · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: D · 60

Warum das die Antwort ist

Der linkeste Knoten des rechten Teilbaums ist 60, also ersetzt 60 die 50 und seine alte Position wird entfernt; mit dem Vorgänger ergäbe sich 40.

Antwort

D · 60
5.Graphentheorie

Antwort: L = 14

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Antwort

L = 14

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante BC

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. CE (8)
2. BC (9)
3. BD (12)
4. AC (18)

Kantennummer 2

BC

Antwort

Kante BC

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