Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

In einem sortierten Array suchst du zwei Elemente mit einer Zielsumme, indem du von jedem Ende einen Zeiger nach innen bewegst. Welche Zeitkomplexität hat das?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Held-Karp-Algorithmus der dynamischen Programmierung löst das Problem des Handlungsreisenden exakt. Welche Laufzeit hat er für n Städte?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n!)
  4. DO(n³)
3.DatenstrukturenMittel

Was ist der größtmögliche Füllgrad einer Hashtabelle mit offener Adressierung?

  1. A1
  2. BEs gibt kein Maximum
  3. C0,5
  4. D2
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Segmentbaum (Segment Tree) wird typischerweise verwendet, um:

  1. ABereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
  2. BZeichenketten alphabetisch zu sortieren, indem jedes Präfix in einem eigenen Baumknoten gespeichert wird
  3. CEinen Stack zu implementieren
  4. DDie Kanten eines Graphen zu speichern
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
101231915201ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ist die Summe zu klein, rückt der linke Zeiger nach rechts, ist sie zu groß, rückt der rechte Zeiger nach links; es gibt also höchstens n Schritte.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n² 2ⁿ)

Warum das die Antwort ist

Es gibt etwa n 2ⁿ Zustände, die jeweils in O(n) berechnet werden; das ist exponentiell, aber weit schneller, als alle (n − 1)! Rundreisen auszuprobieren.

Antwort

A · O(n² 2ⁿ)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 1

Warum das die Antwort ist

Bei offener Adressierung liegen alle Schlüssel in der Tabelle selbst, daher kann n nicht größer als m sein; bei Separate Chaining kann der Füllgrad über 1 liegen.

Antwort

A · 1
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten

Warum das die Antwort ist

Ein Segmentbaum speichert Aggregate für Intervalle und unterstützt Bereichsabfragen und Punktaktualisierungen in O(log n) Zeit.

Antwort

A · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 13

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 33 = 2(L + 11) − 2
L = 13

Antwort

L = 13

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante BC

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. BE (1)
2. BC (3)
3. AB (10)
4. BD (19)

Kantennummer 2

BC

Antwort

Kante BC

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