Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viel Stack-Speicher braucht eine einfache rekursive Fakultätsfunktion fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Schranke ist für log(n!) richtig?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur verwendet die Tiefensuche (DFS) in der iterativen Variante?

  1. AEinen Heap
  2. BEinen Stack
  3. CEine Queue
  4. DNur eine Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Wie kannst du mit O(1) zusätzlichem Speicher erkennen, ob eine einfach verkettete Liste einen Zyklus enthält?

  1. ADie Liste sortieren und nach Duplikaten suchen
  2. BJeden besuchten Knoten in einem Hash-Set speichern
  3. CEinen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
  4. DDie Knoten zählen, bis die Zahl das Längenfeld der Liste übersteigt
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
6147154117ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Die Rekursion ist n Aufrufe tief, bevor einer zurückkehrt, und jeder Aufruf braucht einen Stackframe, also beträgt der Speicherbedarf O(n).

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(n log n)

Warum das die Antwort ist

log(n!) ≤ n log n, und die größten n / 2 Faktoren ergeben log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); deshalb braucht vergleichsbasiertes Sortieren Ω(n log n).

Antwort

C · Θ(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Einen Stack

Warum das die Antwort ist

DFS geht so tief wie möglich und nutzt daher natürlicherweise einen Stack (oder den Aufrufstack der Rekursion); BFS verwendet eine Queue.

Antwort

B · Einen Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

Warum das die Antwort ist

Bei Floyds Algorithmus holt der schnelle Zeiger den langsamen irgendwann ein, wenn es einen Zyklus gibt; andernfalls erreicht der schnelle Zeiger null.

Antwort

C · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 20

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 32 = 2(L + 7) − 2
L = 20

Antwort

L = 20

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. DE (1)
2. CE (4)
3. AB (6)
4. BC (7)

Kantennummer 2

CE

Antwort

Kante CE

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