Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche amortisierte Zeitkomplexität hat das Anhängen an ein dynamisches Array, das seine Kapazität verdoppelt, wenn es voll ist?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum ist eine Suche in einer Hashtabelle im Durchschnitt O(1), im Worst Case aber O(n)?

  1. AHashfunktionen sind langsam
  2. BViele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
  3. CArrays haben O(n) Zugriffszeit
  4. DSchlüssel müssen zuerst sortiert werden
3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Du willst für jedes Element eines Arrays das nächstgrößere Element rechts davon finden, insgesamt in O(n). Welche Struktur hilft?

  1. AEine Hashtabelle aller Elemente
  2. BEin binärer Suchbaum, der für jedes Element neu aufgebaut wird
  3. CEin Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
  4. DEine Queue, die jedes Elementpaar enthält
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 16 Knoten und 17 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 16|E| = 17
k =
6.GraphentheorieSchwer
2661012231062ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(1)

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente werden nur bei Zweierpotenzen kopiert; verteilt auf alle Anhängeoperationen sind die durchschnittlichen Kosten pro Operation konstant.

Antwort

B · O(1)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren

Warum das die Antwort ist

Mit einer guten Hashfunktion und einem passenden Füllgrad (Load Factor) bleiben Buckets im Durchschnitt kurz; gezielte Angriffe oder schlechtes Hashing können alle Schlüssel in einen Bucket legen.

Antwort

B · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
3.Datenstrukturen

Antwort: C · 2h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2h ergibt 2h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

C · 2h+1 − 1
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten

Warum das die Antwort ist

Beim Durchlauf von links nach rechts entnimmst du jedes gestapelte Element, das kleiner als das aktuelle ist (das aktuelle Element ist seine Antwort), und legst dann das aktuelle ab; jedes Element bewegt sich höchstens zweimal.

Antwort

C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

16 − 1 = 15

Zu entfernende Kanten

k = 17 − 15 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 2, C: 6
2. B (2): G: 12
3. C (6): E: 16
4. G (12): E: 14
5. E (14): D: 26, F: 17
6. F (17): D: 19
7. D (19)

Runde 5

E

Antwort

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms