Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Eine Funktion führt eine Schleife mit n Iterationen und danach, getrennt davon, eine weitere Schleife mit n Iterationen aus. Welche Zeitkomplexität hat sie?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Insertionsort läuft bei sortierter Eingabe in O(n). Widerspricht das der unteren Schranke Ω(n log n) für vergleichsbasiertes Sortieren?

  1. AJa, die untere Schranke ist also falsch
  2. BNein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
  3. CJa, aber nur für Arrays mit weniger als 100 Elementen
  4. DNein, weil Insertionsort kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren ist
3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

  1. AEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
  2. BNur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
  3. CDie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert
  4. DDie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin sortiertes Array aller n Werte
  2. BEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  3. CEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  4. DEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
51917164193ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

n + n = 2n, und konstante Faktoren fallen weg, also ist die Funktion O(n).

Antwort

D · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

Warum das die Antwort ist

Die Schranke besagt, dass jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren bei irgendeiner Eingabe der Größe n etwa n log n Vergleiche braucht; spezielle Eingaben können viel schneller sein.

Antwort

B · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

A · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

D · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

A, B, C, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: W = 32

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

AC (1): nehmen
BE (3): nehmen
DE (4): nehmen
AB (5): nehmen
BC (9): überspringen, schließt einen Kreis
CE (16): überspringen, schließt einen Kreis
BD (17): überspringen, schließt einen Kreis
DF (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 19 = 32

Antwort

W = 32

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