Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AEine einzige Schleife
  2. BÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  3. CNur zufällige Eingaben
  4. DÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Bei welcher Variante des Rucksackproblems liefert die Greedy-Regel „Gegenstände nach Wert pro Gewicht nehmen" immer eine optimale Lösung?

  1. ABei beiden Varianten
  2. BBeim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
  3. CBeim 0/1-Rucksackproblem, bei dem Gegenstände immer ganz genommen werden müssen
  4. DBei keiner der beiden Varianten
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert es, mit einer Adjazenzmatrix zu prüfen, ob die Kante (u, v) existiert?

  1. AO(V)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(1)
4.DatenstrukturenSchwer

Die Zeitkomplexität von decrease-key in einem binären Heap (bei bekannter Position des Elements) beträgt:

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 5, 4 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
1314531531212ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen

Warum das die Antwort ist

Dürfen Gegenstände geteilt werden, ist das beste Verhältnis zuerst optimal; beim 0/1-Rucksack kann ein Gegenstand mit hohem Verhältnis eine bessere Kombination blockieren, sodass dynamische Programmierung nötig ist.

Antwort

B · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(1)

Warum das die Antwort ist

Der Matrixeintrag in Zeile u, Spalte v zeigt sofort, ob die Kante existiert; eine Adjazenzliste muss eventuell die Nachbarn von u durchsuchen.

Antwort

D · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Verringern des Schlüssels wandert das Element höchstens um die Höhe des Heaps nach oben (sift-up). Fibonacci-Heaps erreichen decrease-key in amortisiert O(1).

Antwort

A · O(log n)
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: F

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 13, C: 14
2. B (13): E: 25
3. C (14): E: 17
4. E (17): D: 32, F: 29
5. F (29)
6. D (32)

Runde 5

F

Antwort

F

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