Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Zeitkomplexität des naiven rekursiven Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ist:

  1. ALogarithmisch
  2. BLinear
  3. CKonstant
  4. DExponentiell
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. AVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  2. BVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
  3. CDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  4. DDie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

  1. AArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
  2. BVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
  3. CArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
  4. DDas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Mit welcher Struktur lässt sich das Maximum jedes Fensters der Größe k in einem Array insgesamt in O(n) berechnen?

  1. AEin sortiertes Array, das durch Verschieben aktualisiert wird
  2. BEin für jedes Fenster neu aufgebauter Min-Heap
  3. CEine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
  4. DEine einfach verkettete Liste der Fensterelemente
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
72041219113ABCDE

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 3
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Exponentiell

Warum das die Antwort ist

Der Aufrufbaum wächst ungefähr wie φⁿ (etwa 1,618ⁿ). Memoisation reduziert dies auf O(n).

Antwort

D · Exponentiell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

A · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte

Warum das die Antwort ist

Das vordere Ende der Deque ist immer das Maximum des Fensters; jeder Index kommt einmal hinein und einmal heraus, daher ist der Aufwand linear.

Antwort

C · Eine Deque mit Indizes in absteigender Reihenfolge der Werte
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante AB

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. BE (3)
2. BC (4)
3. AB (7)
4. DE (11)

Kantennummer 3

AB

Antwort

Kante AB

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