Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche amortisierte Zeitkomplexität hat das Anhängen an ein dynamisches Array, das seine Kapazität verdoppelt, wenn es voll ist?

AO(n²)
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 2²ⁿ in O(2ⁿ)?

ANein, denn 2²ⁿ wächst langsamer als 2ⁿ
BJa, denn beide sind exponentiell
CJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
DNein, denn 2²ⁿ = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

A2^h+1 − 1
Bh²
C2h + 1
D2^h

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

AFinden des Medians in O(1)
BEinfügen von Elementen an beliebiger Position
CPräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
DSortieren des Arrays und binäre Suche

5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K₆? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K₆

H =

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(1)

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente werden nur bei Zweierpotenzen kopiert; verteilt auf alle Anhängeoperationen sind die durchschnittlichen Kosten pro Operation konstant.

Antwort

B · O(1)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Nein, denn 2²ⁿ = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

D · Nein, denn 2²ⁿ = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

3.Datenstrukturen

Antwort: A · 2^h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2^h ergibt 2^h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

A · 2^h+1 − 1

4.Datenstrukturen

Antwort: C · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

C · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

5.Graphentheorie

Antwort: H = 60

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwort

H = 60

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 23

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 10

C (10): B: 11, G: 24

B (11): D: 17, G: 16

G (16): E: 23

D (17): E: 18, F: 26

E (18): F: 23

F (23)

Kürzester Weg

A → C → B → D → E → F

d(F) = 23

Antwort

d(F) = 23

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