Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Sortieralgorithmus ist stabil?

  1. ASelectionsort (typische Variante)
  2. BQuicksort (typische In-place-Variante)
  3. CHeapsort
  4. DMergesort
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse NP ist richtig?

  1. AProbleme, die kein Algorithmus lösen kann
  2. BProbleme, die nicht polynomiell sind
  3. CProbleme, die nicht in polynomieller Zeit gelöst werden können
  4. DEntscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.DatenstrukturenMittel

Eine Queue wird mit zwei Stacks implementiert: push auf einen „in“-Stack und pop von einem „out“-Stack, der aus „in“ nachgefüllt wird, wenn er leer ist. Wie hoch sind die amortisierten Kosten pro Operation?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Objekt wird als Schlüssel in einer Hashmap gespeichert, danach wird ein Feld geändert, das in seine Hashfunktion eingeht. Was ist die wahrscheinliche Folge?

  1. ANichts ändert sich, weil der Hash eines Schlüssels nur einmal beim Programmstart berechnet wird
  2. BDie Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt
  3. CDie Map wirft im Moment der Feldänderung einen Fehler
  4. DDie Map verschiebt den Schlüssel automatisch in seinen neuen Bucket
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 23 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 23
k =
6.GraphentheorieSchwer
71543129510ABCDEF

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten B. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 5 hinzufügt.

Start: Bk = 5
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante DF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Mergesort

Warum das die Antwort ist

Mergesort ist stabil, wenn beim Zusammenführen bei Gleichheit zuerst aus der linken Hälfte genommen wird. In-place-Quicksort, Heapsort und Selectionsort sind in der Regel nicht stabil.

Antwort

D · Mergesort
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können

Warum das die Antwort ist

Bei einem NP-Problem lässt sich eine vorgeschlagene Lösung (Zertifikat) schnell prüfen, etwa ob eine gegebene Belegung eine boolesche Formel erfüllt.

Antwort

D · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.Datenstrukturen

Antwort: D · O(1)

Warum das die Antwort ist

Jedes Element wird insgesamt höchstens zweimal abgelegt und entnommen; obwohl ein einzelnes Nachfüllen O(n) dauern kann, ist der Durchschnitt über eine Folge O(1).

Antwort

D · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Die Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt

Warum das die Antwort ist

Der Platz des Schlüssels wurde anhand seines alten Hashs gewählt; mit einem neuen Hash suchen Abfragen im falschen Bucket, daher sollten Schlüssel unveränderlich sein.

Antwort

B · Die Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt
5.Graphentheorie

Antwort: k = 11

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 23 − 12 = 11

Antwort

k = 11
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BD (3)
2. BC (4)
3. DF (5)
4. AB (7)
5. DE (9)

Kantennummer 5

DE

Antwort

Kante DE

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