Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Greedy-Regel liefert beim Aktivitätsauswahlproblem immer eine maximale Anzahl sich nicht überschneidender Aktivitäten?

  1. ADie Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
  2. BDie Aktivität wählen, die am frühesten beginnt
  3. CZuerst die Aktivität mit den wenigsten Überschneidungen wählen, dann mit den verträglichen wiederholen
  4. DZuerst die kürzeste Aktivität wählen
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Liegt 22n in O(2ⁿ)?

  1. ANein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
  2. BJa, denn beide sind exponentiell
  3. CNein, denn 22n wächst langsamer als 2ⁿ
  4. DJa, denn konstante Faktoren im Exponenten werden in der Groß-O-Notation immer ignoriert
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Post-Order-Traversierung?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D1 2 4 5 3
4.DatenstrukturenSchwer

Warum verwenden Datenbanken für Indizes oft B+-Bäume statt einfacher B-Bäume?

  1. AAlle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
  2. BB+-Bäume speichern Daten nur in der Wurzel
  3. CB+-Bäume müssen nicht balanciert sein
  4. DB+-Bäume verwenden binäre innere Knoten, was Festplattenzugriffe reduziert
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
4738912201913ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen

Warum das die Antwort ist

Dass die Wahl des frühesten Endzeitpunkts optimal ist, lässt sich mit einem Austauschargument beweisen; für die anderen Regeln gibt es Gegenbeispiele.

Antwort

A · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt

Warum das die Antwort ist

Eine zum Exponenten addierte Konstante ergibt einen konstanten Faktor, aber eine Konstante, die den Exponenten multipliziert, ändert die Basis und die Wachstumsrate.

Antwort

A · Nein, denn 22n = 4ⁿ und 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ wächst unbeschränkt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 4 5 2 3 1

Warum das die Antwort ist

Post-Order verarbeitet 4 und 5 vor 2, dann 3 und zuletzt die Wurzel 1.

Antwort

A · 4 5 2 3 1
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht

Warum das die Antwort ist

In einem B+-Baum leiten innere Knoten nur die Suche, und die Blätter sind in Schlüsselreihenfolge verkettet; eine Bereichsabfrage findet also den ersten Schlüssel und läuft dann die Blätter entlang.

Antwort

A · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
5.Graphentheorie

Antwort: L = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 28 = 2(L + 9) − 2
L = 12

Antwort

L = 12

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 44

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

CE (3): nehmen
AB (4): nehmen
AC (7): nehmen
DE (8): nehmen
DF (9): nehmen
EF (12): überspringen, schließt einen Kreis
GE (13): nehmen

Gesamtgewicht

W = 3 + 4 + 7 + 8 + 9 + 13 = 44

Antwort

W = 44

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