Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Vergleiche braucht die binäre Suche im Worst Case ungefähr bei einem sortierten Array mit 1,000,000 Elementen?

  1. AEtwa 20
  2. BEtwa 500,000
  3. CEtwa 100
  4. DEtwa 1,000
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Eine topologische Sortierung ist nur möglich für:

  1. AVollständige Graphen
  2. BGraphen mit negativen Gewichten
  3. CUngerichtete Graphen
  4. DGerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. AEine Hashtabelle der Funktionen
  2. BDen Aufrufstack (Call Stack)
  3. CEinen binären Suchbaum der Frames
  4. DDie Heap-Speicher-Queue
4.DatenstrukturenSchwer

Das Löschen eines Knotens mit zwei Kindknoten aus einem binären Suchbaum erfolgt üblicherweise durch:

  1. AErsetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
  2. BEntfernen des gesamten Teilbaums
  3. CVertauschen mit der Wurzel
  4. DDen darunterliegenden Teilbaum von Grund auf neu aufbauen und jeden darin enthaltenen Schlüssel erneut einfügen
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K5? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K5
H =
6.GraphentheorieSchwer
111719205132ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten E. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 2 hinzufügt.

Start: Ek = 2
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Etwa 20

Warum das die Antwort ist

220 ≈ 1,048,576, also bleibt nach etwa 20 Halbierungen nur ein Element übrig.

Antwort

A · Etwa 20
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)

Warum das die Antwort ist

Eine topologische Ordnung existiert genau dann, wenn der gerichtete Graph keine Zyklen hat; sie lässt sich in O(V + E) mit DFS oder dem Kahn-Algorithmus finden.

Antwort

D · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

B · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens

Warum das die Antwort ist

Der In-Order-Nachfolger hat höchstens ein Kind, daher lässt er sich leicht entfernen, nachdem sein Schlüssel in den zu löschenden Knoten kopiert wurde.

Antwort

A · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12
6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. BE (2)
2. CE (5)
3. AB (11)
4. DE (13)

Kantennummer 2

CE

Antwort

Kante CE

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