Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse P ist richtig?

AProbleme, deren Lösungen in polynomieller Zeit geprüft, aber nie gefunden werden können
BEntscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
CProbleme, die auf jedem Computer exponentielle Zeit brauchen
DProbleme, die parallel gelöst werden können

3.DatenstrukturenMittel

Bei welchem Verfahren zur Kollisionsauflösung werden kollidierende Schlüssel in einer Liste im selben Bucket gespeichert?

ADoppeltes Hashing (Double Hashing)
BLineares Sondieren (Linear Probing)
CVerkettung (Separate Chaining)
DQuadratisches Sondieren (Quadratic Probing)

4.DatenstrukturenSchwer

Warum werden B-Bäume in Datenbanken und Dateisystemen verwendet?

AIhr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
BSie benötigen keine Rebalancierung
CSie speichern Daten unsortiert
DSie benötigen weniger Speicher als jedes Array, sodass der gesamte Index immer in den Hauptspeicher passt

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten B. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 5 hinzufügt.

Start: Bk = 5

1Kante AB
2Kante AC
3Kante BC
4Kante BD
5Kante CE
6Kante DE
7Kante DF
8Kante EF
9Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Die innere Schleife läuft für jede der n äußeren Iterationen etwa log₂ n-mal, das ergibt O(n log n).

Antwort

A · O(n log n)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst

Warum das die Antwort ist

P enthält Entscheidungsprobleme mit einem deterministischen Polynomialzeitalgorithmus, etwa die Prüfung, ob ein Graph zusammenhängend ist.

Antwort

B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst

3.Datenstrukturen

Antwort: C · Verkettung (Separate Chaining)

Warum das die Antwort ist

Beim Chaining gibt es pro Bucket eine verkettete Liste (oder eine andere Struktur); offene Adressierung sucht einen anderen freien Platz in der Tabelle selbst.

Antwort

C · Verkettung (Separate Chaining)

4.Datenstrukturen

Antwort: A · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

Warum das die Antwort ist

B-Bäume speichern viele Schlüssel pro Knoten, daher ist die Höhe gering und pro Suche sind nur wenige Blockzugriffe nötig; B+-Bäume verketten zusätzlich die Blätter für Bereichsabfragen.

Antwort

A · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

B, E → 2

Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante EF

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. AB (1)

2. BD (7)

3. BC (11)

4. CE (6)

5. EF (15)

Kantennummer 5

Antwort

Kante EF

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