Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Zeitkomplexität des naiven rekursiven Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ist:

  1. AKonstant
  2. BExponentiell
  3. CLogarithmisch
  4. DLinear
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
  2. BZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  3. CX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
  4. DEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. ADie Heap-Speicher-Queue
  2. BDen Aufrufstack (Call Stack)
  3. CEine Hashtabelle der Funktionen
  4. DEinen binären Suchbaum der Frames
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AHashwerte müssen Primzahlen sein
  2. BGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
  3. CGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
  4. DVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 12 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 12|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei E? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Exponentiell

Warum das die Antwort ist

Der Aufrufbaum wächst ungefähr wie φⁿ (etwa 1,618ⁿ). Memoisation reduziert dies auf O(n).

Antwort

B · Exponentiell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

B · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: k = 7

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

12 − 1 = 11

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 11 = 7

Antwort

k = 7
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

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