Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum bringt dynamische Programmierung bei Mergesort keine echte Beschleunigung?

  1. ASeine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
  2. BMergesort ist bereits O(n)
  3. CDynamische Programmierung funktioniert nur bei Graphenproblemen, nicht bei Arrays
  4. DMergesort hat keine rekursive Struktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  2. BSchleifen vermieden werden sollten
  3. CKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  4. DJedes Programm irgendwann anhält
3.DatenstrukturenMittel

Welchen abstrakten Datentyp verwendet Dijkstras Algorithmus, um den nächsten zu verarbeitenden Knoten zu wählen?

  1. AEinen Stack
  2. BEine FIFO-Queue
  3. CEine Menge ohne Ordnung
  4. DEine Min-Prioritätswarteschlange
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

  1. APräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
  2. BFinden des Medians in O(1)
  3. CEinfügen von Elementen an beliebiger Position
  4. DSortieren des Arrays und binäre Suche
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 14 Knoten und 16 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 14|E| = 16
k =
6.GraphentheorieSchwer
1254122591293ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G
d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden

Warum das die Antwort ist

Die Hälften bei Mergesort sind disjunkt und werden jeweils einmal gelöst; DP hilft nur, wenn Teilprobleme wiederkehren, wie bei Fibonacci.

Antwort

A · Seine Teilprobleme überlappen sich nicht, also gibt es nichts wiederzuverwenden
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Min-Prioritätswarteschlange

Warum das die Antwort ist

Eine Min-Prioritätswarteschlange, meist ein binärer Heap, liefert effizient den unbesuchten Knoten mit der kleinsten Distanz.

Antwort

D · Eine Min-Prioritätswarteschlange
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

A · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.Graphentheorie

Antwort: k = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

14 − 1 = 13

Zu entfernende Kanten

k = 16 − 13 = 3

Antwort

k = 3
6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 10

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 1
B (1): C: 3, D: 6, G: 10
C (3): E: 7
D (6): F: 8
E (7)
F (8)
G (10)

Kürzester Weg

A → B → G
d(G) = 10

Antwort

d(G) = 10

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