Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Du sortierst ein Array mit n Elementen einmal und beantwortest danach k Enthaltenseinsanfragen mit binärer Suche. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AWeil n immer klein ist
  2. BWeil er nur für W = 0 funktioniert
  3. CWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  4. DW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. ADass kein Knoten zwei Kindknoten hat
  2. BDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
  3. CSuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  4. DEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
  2. BGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
  3. CVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
  4. DHashwerte müssen Primzahlen sein
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von E nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n log n + k log n)

Warum das die Antwort ist

Das Sortieren kostet O(n log n) und jede Anfrage O(log n); das schlägt k lineare Durchläufe (O(nk)), wenn k groß ist.

Antwort

D · O(n log n + k log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

D · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

D · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

B · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: L = 22

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Antwort

L = 22

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Antwort

N = 1

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