Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was bedeutet es, dass ein Problem optimale Teilstruktur hat?

  1. AEine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
  2. BJedes Teilproblem hat dieselbe Größe
  3. CDas Problem hat genau eine optimale Lösung, die jedes Teilproblem teilt
  4. DDas Problem kann in konstanter Zeit gelöst werden
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn Polynomialzeit lösbar ist
  2. BIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  3. CUnmöglich zu lösen ist
  4. DAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.DatenstrukturenSchwer

Warum wird in einer Hashtabelle mit offener Adressierung beim Löschen oft eine „Tombstone“-Markierung verwendet?

  1. AGelöschte Schlüssel müssen aus Sicherheitsgründen für immer aufbewahrt werden, sodass Plätze nie wiederverwendet werden können
  2. BDas Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
  3. CTombstones beschleunigen das Hashing
  4. DDadurch wird die Tabelle sortiert
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 17 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 17
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 3 führen von D nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen

Warum das die Antwort ist

Optimale Teilstruktur ist sowohl für Greedy-Algorithmen als auch für dynamische Programmierung nötig, damit sie korrekte Ergebnisse liefern.

Antwort

A · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

B · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

A · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen

Warum das die Antwort ist

Würde ein gelöschter Platz leer, könnten spätere Suchen zu früh abbrechen und Schlüssel übersehen, die weiter hinten in der Sondierungskette abgelegt wurden.

Antwort

B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 5

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 17 − 12 = 5

Antwort

k = 5
6.Graphentheorie

Antwort: N = 6

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)DB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 = 6

Antwort

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms