Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der Bellman-Ford-Algorithmus auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. A2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
  2. BAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  3. C3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  4. DSchaltkreis-Erfüllbarkeit
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Pre-Order-Traversierung?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ADiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
  2. BBits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  3. CLöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
  4. DBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 43 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
112613111510131049ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(V × E)

Warum das die Antwort ist

Jede der V − 1 Runden relaxiert alle E Kanten, das ergibt O(VE); dafür kann er mit negativen Kantengewichten umgehen.

Antwort

C · O(V × E)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

A · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: C · 1 2 4 5 3

Warum das die Antwort ist

Pre-Order besucht 1, dann seinen linken Teilbaum (2, 4, 5), dann 3; die anderen Optionen sind In-Order, Post-Order und Level-Order.

Antwort

C · 1 2 4 5 3
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

A · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: L = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Antwort

L = 10

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 1, C: 12
2. B (1): C: 7, D: 14
3. C (7): E: 18, G: 17
4. D (14): F: 24
5. G (17)
6. E (18)
7. F (24)

Runde 4

D

Antwort

D

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