Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat Quicksort im Worst Case?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. AAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  2. BSchaltkreis-Erfüllbarkeit
  3. C2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
  4. D3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
3.DatenstrukturenMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Suche nach einem Schlüssel in einem balancierten binären Suchbaum?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Paar von Traversierungen bestimmt immer einen eindeutigen Binärbaum mit verschiedenen Schlüsseln?

  1. APre-Order und Post-Order
  2. BPre-Order allein
  3. CPre-Order und In-Order
  4. DLevel-Order allein
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 7 Knoten und 8 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 7|E| = 8
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Bei durchgehend schlechten Pivots (z. B. bereits sortierte Eingabe und das erste Element als Pivot) sind die Partitionen unausgeglichen, was O(n²) ergibt. Der Average Case ist O(n log n).

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

C · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter Baum hat eine Höhe von etwa log₂ n, daher folgt eine Suche einem einzigen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt.

Antwort

C · O(log n)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Pre-Order und In-Order

Warum das die Antwort ist

Pre-Order liefert die Wurzel, und ihre Position in der In-Order-Folge trennt linken und rechten Teilbaum; Pre-Order mit Post-Order ist mehrdeutig, wenn ein Knoten nur ein Kind hat.

Antwort

C · Pre-Order und In-Order
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

7 − 1 = 6

Zu entfernende Kanten

k = 8 − 6 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms