Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Bottom-up-Tabelle?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
  2. BZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  3. CX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
  4. DEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Eine Anwendung braucht schnelle Suchen, muss aber auch Schlüssel sortiert auflisten und Bereichsabfragen beantworten. Welche Struktur passt am besten?

  1. AEin balancierter binärer Suchbaum
  2. BEine Hashtabelle
  3. CEine unsortierte verkettete Liste
  4. DEin Stack
4.DatenstrukturenSchwer

Warum wird in einer Hashtabelle mit offener Adressierung beim Löschen oft eine „Tombstone“-Markierung verwendet?

  1. AGelöschte Schlüssel müssen aus Sicherheitsgründen für immer aufbewahrt werden, sodass Plätze nie wiederverwendet werden können
  2. BDas Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
  3. CDadurch wird die Tabelle sortiert
  4. DTombstones beschleunigen das Hashing
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 42 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
691131514877ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(G) des kürzesten Weges von A nach G im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: G
d(G) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Das Füllen der Tabelle von 0 bis n kostet eine Addition pro Eintrag, also ist der Aufwand linear statt exponentiell.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Ein balancierter binärer Suchbaum

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter BST bietet Suchen in O(log n) und hält die Schlüssel geordnet, sodass In-Order-Traversierung und Bereichsabfragen einfach sind; eine Hashtabelle verstreut die Schlüssel.

Antwort

A · Ein balancierter binärer Suchbaum
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen

Warum das die Antwort ist

Würde ein gelöschter Platz leer, könnten spätere Suchen zu früh abbrechen und Schlüssel übersehen, die weiter hinten in der Sondierungskette abgelegt wurden.

Antwort

B · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
5.Graphentheorie

Antwort: L = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Antwort

L = 6

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(G) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6
B (6): D: 15, G: 14
G (14): E: 21
D (15): E: 18, F: 30
E (18): C: 29
C (29)
F (30)

Kürzester Weg

A → B → G
d(G) = 14

Antwort

d(G) = 14

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