Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Breitensuche (BFS) auf einem ungewichteten Graphen findet:

  1. AKürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
  2. BKürzeste Wege in Graphen mit negativen Kantengewichten
  3. CEine topologische Sortierung in allen Graphen
  4. DDen minimalen Spannbaum
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Laufzeit hat der Dijkstra-Algorithmus mit einem binären Heap auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V³)
  4. DO(V + E)
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. AJedes Blatt besuchen und vergleichen
  2. BNur die Wurzel ansehen
  3. CVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  4. DVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.DatenstrukturenSchwer

Wie verbessert ein Radix-Baum (komprimierter Trie) einen einfachen Trie?

  1. AEr sortiert die Kinder jedes Knotens nach Häufigkeit
  2. BEr speichert jedes Wort in einer Hashtabelle an der Wurzel statt in einzelnen Knoten
  3. CEr fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
  4. DEr behält nur den ersten Buchstaben jedes Worts
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K4? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K4
H =
6.GraphentheorieSchwer
1891318519103ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten

Warum das die Antwort ist

BFS besucht Knoten in der Reihenfolge ihres Abstands (in Kanten) vom Startknoten und findet daher kürzeste ungewichtete Wege in O(V + E).

Antwort

A · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O((V + E) log V)

Warum das die Antwort ist

Es gibt V Extract-Min- und bis zu E Decrease-Key-Operationen mit jeweils O(log V); ein Fibonacci-Heap verbessert dies auf O(E + V log V).

Antwort

B · O((V + E) log V)
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

D · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen

Warum das die Antwort ist

Das Zusammenfassen unverzweigter Pfade verringert die Anzahl der Knoten und den Speicherbedarf, während die Präfixsuche erhalten bleibt.

Antwort

C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
5.Graphentheorie

Antwort: H = 3

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwort

H = 3
6.Graphentheorie

Antwort: W = 46

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

DE (1): nehmen
GD (3): nehmen
EF (5): nehmen
DF (8): überspringen, schließt einen Kreis
AC (9): nehmen
GC (10): nehmen
CE (13): überspringen, schließt einen Kreis
AB (18): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 3 + 5 + 9 + 10 + 18 = 46

Antwort

W = 46

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