Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie baut der Algorithmus von Prim einen minimalen Spannbaum auf?

  1. AEr sortiert alle Kanten nach Gewicht und fügt jede hinzu, sofern sie im Wald keinen Kreis bildet
  2. BEr entfernt die teuerste Kante, bis keine Kreise mehr übrig sind
  3. CEr lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
  4. DEr führt eine Breitensuche aus und behält den BFS-Baum
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie hoch sind die amortisierten Kosten für das Inkrementieren eines Binärzählers, wenn ein einzelnes Inkrement viele Bits umschalten kann?

  1. AO(1) pro Inkrement
  2. BO(n) pro Inkrement
  3. CO(n log n) pro Inkrement
  4. DO(log n) pro Inkrement
3.DatenstrukturenMittel

Eine Anwendung braucht schnelle Suchen, muss aber auch Schlüssel sortiert auflisten und Bereichsabfragen beantworten. Welche Struktur passt am besten?

  1. AEine unsortierte verkettete Liste
  2. BEin Stack
  3. CEine Hashtabelle
  4. DEin balancierter binärer Suchbaum
4.DatenstrukturenSchwer

Ein dynamisches Array verdoppelt sich, wenn es voll ist. Warum verkleinern es viele Implementierungen erst, wenn es zu einem Viertel gefüllt ist, und nicht schon bei halber Füllung?

  1. AUm das Array sortiert zu halten
  2. BWeil der Speicherverwalter Speicher nur in Vierteln eines Blocks freigeben kann
  3. CUm wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
  4. DWeil Halbieren bei halber Füllung Elemente verlieren würde
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
151613142018ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt

Warum das die Antwort ist

Der Algorithmus von Prim läuft mit einer Prioritätswarteschlange der kreuzenden Kanten bei einem binären Heap in O(E log V).

Antwort

C · Er lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen und fügt die günstigste Kante hinzu, die den Baum verlässt
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(1) pro Inkrement

Warum das die Antwort ist

Über n Inkremente schaltet Bit i etwa n / 2ⁱ-mal um, also sind es insgesamt weniger als 2n Umschaltungen, im Durchschnitt O(1) pro Inkrement.

Antwort

A · O(1) pro Inkrement
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Ein balancierter binärer Suchbaum

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter BST bietet Suchen in O(log n) und hält die Schlüssel geordnet, sodass In-Order-Traversierung und Bereichsabfragen einfach sind; eine Hashtabelle verstreut die Schlüssel.

Antwort

D · Ein balancierter binärer Suchbaum
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln

Warum das die Antwort ist

Verkleinern bei halber Füllung könnte in einer solchen Folge bei jeder Operation ein Umdimensionieren auslösen; der Abstand zwischen 1/4 und voll hält die amortisierten Kosten bei O(1).

Antwort

C · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

D, E, F, G → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: W = 37

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

DE (1): nehmen
BE (8): nehmen
BC (13): nehmen
BD (14): überspringen, schließt einen Kreis
AB (15): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 8 + 13 + 15 = 37

Antwort

W = 37

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