Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Breitensuche (BFS) auf einem ungewichteten Graphen findet:

  1. ADen minimalen Spannbaum
  2. BEine topologische Sortierung in allen Graphen
  3. CKürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
  4. DKürzeste Wege in Graphen mit negativen Kantengewichten
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welcher Algorithmus findet einen minimalen Spannbaum, indem er wiederholt die günstigste Kante hinzufügt, die keinen Zyklus bildet?

  1. ADijkstra-Algorithmus
  2. BFloyd-Warshall
  3. CPrim-Algorithmus, ausgehend von einem Knoten
  4. DKruskal-Algorithmus
3.DatenstrukturenMittel

Du hast eine Referenz auf einen Knoten in der Mitte einer Liste. In welcher Liste kannst du ihn in O(1) entfernen?

  1. AIn einem sortierten Array
  2. BIn einer doppelt verketteten Liste
  3. CIn einer einfach verketteten Liste
  4. DIn einem dynamischen Array
4.DatenstrukturenSchwer

Die Schlüssel 5, 3, 8, 1 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren, arraybasierten binären Min-Heap eingefügt. Wie sieht das Array am Ende aus?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 3 beginnen und enden bei B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten

Warum das die Antwort ist

BFS besucht Knoten in der Reihenfolge ihres Abstands (in Kanten) vom Startknoten und findet daher kürzeste ungewichtete Wege in O(V + E).

Antwort

C · Kürzeste Wege, gemessen in der Anzahl der Kanten vom Startknoten
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kruskal-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Kruskal sortiert die Kanten nach Gewicht und fügt sie hinzu, wenn sie verschiedene Komponenten verbinden; Prim lässt einen einzigen Baum von einem Startknoten aus wachsen.

Antwort

D · Kruskal-Algorithmus
3.Datenstrukturen

Antwort: B · In einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Ein doppelt verketteter Knoten kennt seinen Vorgänger, daher kannst du prev und next direkt neu verbinden; eine einfach verkettete Liste muss den Vorgänger erst suchen.

Antwort

B · In einer doppelt verketteten Liste
4.Datenstrukturen

Antwort: C · [1, 3, 8, 5]

Warum das die Antwort ist

Nach 5, 3, 8 ist das Array [3, 5, 8]; 1 kommt an Index 3, wird mit seinem Elternknoten 5 und dann mit 3 vertauscht, das ergibt [1, 3, 8, 5].

Antwort

C · [1, 3, 8, 5]
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 4

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BB = 0·1 + 4·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 + 2·0 = 4

Antwort

N = 4

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