Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Insertionsort läuft bei sortierter Eingabe in O(n). Widerspricht das der unteren Schranke Ω(n log n) für vergleichsbasiertes Sortieren?

AJa, aber nur für Arrays mit weniger als 100 Elementen
BNein, weil Insertionsort kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren ist
CNein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
DJa, die untere Schranke ist also falsch

3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

AEine Hashtabelle der Funktionen
BDen Aufrufstack (Call Stack)
CDie Heap-Speicher-Queue
DEinen binären Suchbaum der Frames

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft muss ein Rot-Schwarz-Baum erfüllen?

ARote Knoten müssen rote Kindknoten haben, sodass rote Knoten immer ununterbrochene Ketten bis zu den Blättern bilden
BDie Wurzel muss rot sein
CJeder Knoten muss rot sein
DJeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(D) des kürzesten Weges von A nach D im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: D

d(D) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert n^{log₂ 2} = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

D · O(n)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

Warum das die Antwort ist

Die Schranke besagt, dass jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren bei irgendeiner Eingabe der Größe n etwa n log n Vergleiche braucht; spezielle Eingaben können viel schneller sein.

Antwort

C · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

3.Datenstrukturen

Antwort: B · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

B · Den Aufrufstack (Call Stack)

4.Datenstrukturen

Antwort: D · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

Warum das die Antwort ist

Rot-Schwarz-Regeln: Knoten sind rot oder schwarz, die Wurzel ist schwarz, rote Knoten haben schwarze Kinder und alle Pfade haben die gleiche Schwarzhöhe, wodurch die Höhe ≤ 2 log₂(n + 1) bleibt.

Antwort

D · Jeder Pfad von einem Knoten zu seinen Nachfahren-Blättern enthält gleich viele schwarze Knoten

5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

B, C, D, F → 4

keines von beiden

Antwort

keines von beiden

6.Graphentheorie

Antwort: d(D) = 16

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13, C: 7

C (7): B: 8, E: 16

B (8): D: 18, E: 14

E (14): D: 16, F: 24

D (16): F: 20

F (20)

Kürzester Weg

A → C → B → E → D

d(D) = 16

Antwort

d(D) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms