Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Vergleiche braucht die binäre Suche im Worst Case ungefähr bei einem sortierten Array mit 1,000,000 Elementen?

  1. AEtwa 500,000
  2. BEtwa 20
  3. CEtwa 1,000
  4. DEtwa 100
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche zwei Dinge müssen gezeigt werden, um zu beweisen, dass ein Entscheidungsproblem X NP-vollständig ist?

  1. AX hat keinen polynomiellen Algorithmus, und X ist entscheidbar
  2. BX lässt sich auf ein Problem in P reduzieren, und X liegt in NP
  3. CX liegt in P, und X lässt sich auf SAT reduzieren
  4. DX liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Welche Balancebedingung hält ein AVL-Baum an jedem Knoten ein?

  1. ABeide Teilbäume jedes Knotens enthalten genau gleich viele Knoten
  2. BDie Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
  3. CJeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt
  4. DAlle Blätter liegen in genau derselben Tiefe
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Datenstruktur ermöglicht einen LRU-Cache (least recently used) mit get und put in O(1)?

  1. ANur ein Stack
  2. BEin einzelnes sortiertes Array
  3. CNur ein binärer Suchbaum
  4. DEine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
1466115210127ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Etwa 20

Warum das die Antwort ist

220 ≈ 1,048,576, also bleibt nach etwa 20 Halbierungen nur ein Element übrig.

Antwort

B · Etwa 20
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Die Zugehörigkeit zu NP zeigt, dass X nicht schwerer als NP ist; die Reduktion von einem bekannten NP-vollständigen Problem zeigt, dass X mindestens so schwer ist wie ganz NP.

Antwort

D · X liegt in NP, und ein bekanntes NP-vollständiges Problem lässt sich in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1

Warum das die Antwort ist

Der Balancefaktor (Höhe links − Höhe rechts) muss −1, 0 oder 1 sein; Rotationen stellen ihn nach Einfügen und Löschen wieder her.

Antwort

B · Die Höhen des linken und rechten Teilbaums unterscheiden sich höchstens um 1
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Die Hashmap findet Knoten in O(1), und die doppelt verkettete Liste verschiebt zugegriffene Elemente nach vorne und entfernt hinten in O(1).

Antwort

D · Eine Hashmap kombiniert mit einer doppelt verketteten Liste
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: D

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 14, C: 6
2. C (6): B: 12, E: 11
3. E (11): D: 13, F: 23
4. B (12)
5. D (13)
6. F (23)

Runde 5

D

Antwort

D

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