Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Die Karatsuba-Multiplikation erfüllt T(n) = 3T(n/2) + O(n). Was ist die Lösung?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), etwa n1,585
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert die Suche nach einem Wort der Länge L in einem Trie mit festem Alphabet?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
  3. CO(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
  4. DO(n), wobei n die Anzahl der Wörter ist
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Eigenschaft hält jeden B-Baum perfekt balanciert?

  1. AJeder Knoten hat genau zwei Kinder
  2. BJeder Knoten speichert einen Schlüssel
  3. CAlle Blätter liegen in derselben Tiefe
  4. DDie Schlüssel werden nur in der Wurzel gespeichert
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
12231429159ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(D) des kürzesten Weges von A nach D im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: D
d(D) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Die innere Schleife läuft für jede der n äußeren Iterationen etwa log₂ n-mal, das ergibt O(n log n).

Antwort

B · O(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585

Warum das die Antwort ist

Da log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 ist, dominieren nach dem Master-Theorem die Blätter; das schlägt die O(n²)-Schulmethode.

Antwort

B · Θ(nlog₂ 3), etwa n1,585
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind

Warum das die Antwort ist

Jedes Zeichen wählt ein Kind aus, daher braucht eine Suche L Schritte, egal wie viele Wörter der Trie enthält.

Antwort

C · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe

Warum das die Antwort ist

Volle Knoten teilen sich nach oben, und der Baum wird nur höher, wenn sich die Wurzel teilt, daher bleiben alle Blätter immer auf derselben Ebene.

Antwort

C · Alle Blätter liegen in derselben Tiefe
5.Graphentheorie

Antwort: L = 9

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Antwort

L = 9

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(D) = 16

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 12, C: 2
C (2): B: 5, E: 16
B (5): E: 14
E (14): D: 16, F: 29
D (16): F: 25
F (25)

Kürzester Weg

A → C → B → E → D
d(D) = 16

Antwort

d(D) = 16

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