Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was musst du tun, um zu zeigen, dass ein neues Problem X NP-schwer ist?

  1. AZeigen, dass X in polynomieller Zeit überprüft werden kann
  2. BX in polynomieller Zeit auf ein bekanntes NP-schweres Problem reduzieren
  3. CZeigen, dass X für kleine Eingaben keinen polynomiellen Algorithmus hat
  4. DEin bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  2. BUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
  3. CEr hält die Liste sortiert
  4. DEr speichert die Anzahl der Elemente
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. ASie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  2. BErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  3. CSie speichert Schlüssel ungeordnet
  4. DGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
15184128211716ABCDEFG

Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 3 hinzufügt; übersprungene Kanten zählen nicht.

k = 3
  1. 1Kante AC
  2. 2Kante BD
  3. 3Kante CE
  4. 4Kante DE
  5. 5Kante EF
  6. 6Kante GB
  7. 7Kante GC
  8. 8Kante GD
  9. 9Kante GE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren

Warum das die Antwort ist

Lässt sich ein bekanntes schweres Problem effizient in X umformen, würde ein schneller Algorithmus für X auch das bekannte Problem lösen.

Antwort

D · Ein bekanntes NP-schweres Problem in polynomieller Zeit auf X reduzieren
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: L = 6

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Antwort

L = 6

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

1. GC (1)
2. GB (2)
3. CE (4)
4. EF (8)
5. DE (12)
6. AC (15)

Kantennummer 3

CE

Antwort

Kante CE

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