Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat Quicksort im Worst Case?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie erkennt der Bellman-Ford-Algorithmus einen vom Startknoten erreichbaren Kreis mit negativem Gewicht?

  1. AEr zählt die Kreise mit einer Tiefensuche
  2. BEr führt den Dijkstra-Algorithmus zweimal aus und vergleicht die beiden Distanzergebnisse
  3. CNach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
  4. DEr prüft, ob irgendeine Kante ein negatives Gewicht hat
3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h + 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.DatenstrukturenSchwer

Die Zeitkomplexität von decrease-key in einem binären Heap (bei bekannter Position des Elements) beträgt:

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 18 Knoten und 27 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 18|E| = 27
k =
6.GraphentheorieSchwer
1013116347ABCDE

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten A. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 4 hinzufügt.

Start: Ak = 4
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Bei durchgehend schlechten Pivots (z. B. bereits sortierte Eingabe und das erste Element als Pivot) sind die Partitionen unausgeglichen, was O(n²) ergibt. Der Average Case ist O(n log n).

Antwort

B · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt

Warum das die Antwort ist

Alle echten kürzesten Distanzen sind nach V − 1 Runden gefunden; lässt sich eine Kante noch verbessern, muss ein negativer Kreis existieren.

Antwort

C · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: A · 2h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2h ergibt 2h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

A · 2h+1 − 1
4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Verringern des Schlüssels wandert das Element höchstens um die Höhe des Heaps nach oben (sift-up). Fibonacci-Heaps erreichen decrease-key in amortisiert O(1).

Antwort

D · O(log n)
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

18 − 1 = 17

Zu entfernende Kanten

k = 27 − 17 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: Kante CE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. AB (10)
2. BD (6)
3. DE (4)
4. CE (3)

Kantennummer 4

CE

Antwort

Kante CE

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