Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Bottom-up-Tabelle?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
  2. BUnmöglich zu lösen ist
  3. CAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  4. DIn Polynomialzeit lösbar ist
3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

  1. ANur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
  2. BDie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert
  3. CEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
  4. DDie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
4.DatenstrukturenSchwer

Warum werden B-Bäume in Datenbanken und Dateisystemen verwendet?

  1. ASie speichern Daten unsortiert
  2. BSie benötigen weniger Speicher als jedes Array, sodass der gesamte Index immer in den Hauptspeicher passt
  3. CIhr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
  4. DSie benötigen keine Rebalancierung
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 8 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 8|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 2 führen von D nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Das Füllen der Tabelle von 0 bis n kostet eine Addition pro Eintrag, also ist der Aufwand linear statt exponentiell.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

A · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

C · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe

Warum das die Antwort ist

B-Bäume speichern viele Schlüssel pro Knoten, daher ist die Höhe gering und pro Suche sind nur wenige Blockzugriffe nötig; B+-Bäume verketten zusätzlich die Blätter für Bereichsabfragen.

Antwort

C · Ihr hoher Verzweigungsgrad hält den Baum flach und reduziert langsame Festplattenzugriffe
5.Graphentheorie

Antwort: k = 11

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

8 − 1 = 7

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 7 = 11

Antwort

k = 11
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)DB = 0·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1

Antwort

N = 1

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