Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

In einem sortierten Array suchst du zwei Elemente mit einer Zielsumme, indem du von jedem Ende einen Zeiger nach innen bewegst. Welche Zeitkomplexität hat das?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Zeit- und Speicherkosten hat die Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl mit einer Schleife, die nur die letzten beiden Werte behält?

  1. AO(n) Zeit und O(1) Speicher
  2. BO(n) Zeit und O(n) Speicher
  3. CO(log n) Zeit und O(n) Speicher
  4. DO(2ⁿ) Zeit und O(1) Speicher
3.DatenstrukturenMittel

Die Schlüssel 50, 30, 70, 20, 40 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren binären Suchbaum eingefügt. Was ist das linke Kind von 30?

  1. A70
  2. B50
  3. C40
  4. D20
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind ohne Union by Rank und Pfadkompression die Kosten eines einzelnen find im schlechtesten Fall in einer Union-Find-Struktur mit n Elementen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 2 Knoten vom Grad 3, 2 Knoten vom Grad 4, 2 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

2 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von C nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ist die Summe zu klein, rückt der linke Zeiger nach rechts, ist sie zu groß, rückt der rechte Zeiger nach links; es gibt also höchstens n Schritte.

Antwort

B · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n) Zeit und O(1) Speicher

Warum das die Antwort ist

Jeder Schritt braucht nur die beiden vorherigen Werte, daher kann die Tabelle der Bottom-up-Methode durch zwei Variablen ersetzt werden.

Antwort

A · O(n) Zeit und O(1) Speicher
3.Datenstrukturen

Antwort: D · 20

Warum das die Antwort ist

20 ist kleiner als 50 und kleiner als 30, wird also das linke Kind von 30; 40 wird sein rechtes Kind.

Antwort

D · 20
4.Datenstrukturen

Antwort: D · O(n)

Warum das die Antwort ist

Naive Vereinigungen können Bäume zu einer langen Kette verbinden, sodass find n − 1 Elternzeigern folgen muss; die beiden Heuristiken bringen es nahe an konstante Kosten.

Antwort

D · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: L = 14

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Antwort

L = 14

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)CB = 1·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms