Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was berechnet der Floyd-Warshall-Algorithmus, und wie schnell?

  1. AEine topologische Sortierung in O(V²)
  2. BKürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
  3. CEinen minimalen Spannbaum in O(E log V)
  4. DKürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen in O(V + E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. AVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  2. BDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  3. CDie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
  4. DVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Post-Order-Traversierung?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 2 5 1 3
4.DatenstrukturenSchwer

Warum könnte ein Server seine Hashfunktion zufällig aus einer universellen Familie wählen?

  1. AUm zu garantieren, dass nie zwei Schlüssel kollidieren, welche Schlüssel ein Angreifer auch sendet
  2. BDamit die Hashtabelle sortiert ist
  3. CDamit die Tabelle nicht mehr vergrößert werden muss
  4. DDamit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
36815761015ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)

Warum das die Antwort ist

Floyd-Warshall ist ein Algorithmus der dynamischen Programmierung, der nacheinander jeden Knoten als Zwischenknoten zulässt und O(V³) Zeit braucht.

Antwort

B · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

B · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 4 5 2 3 1

Warum das die Antwort ist

Post-Order verarbeitet 4 und 5 vor 2, dann 3 und zuletzt die Wurzel 1.

Antwort

B · 4 5 2 3 1
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

Warum das die Antwort ist

Beim universellen Hashing ist die erwartete Anzahl von Kollisionen für jede Schlüsselmenge klein, da der Angreifer nicht weiß, welche Funktion gewählt wurde.

Antwort

D · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

C, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 17

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3
B (3): C: 9, D: 11, E: 18
C (9)
D (11): F: 17
F (17)
E (18)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 17

Antwort

d(F) = 17

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