Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wechseln viele Sortierroutinen in Bibliotheken bei sehr kleinen Teilarrays zu Insertionsort?

  1. AInsertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
  2. BInsertionsort ist im Worst Case O(n log n)
  3. CRekursive Algorithmen können Arrays mit weniger als 10 Elementen nicht verarbeiten
  4. DInsertionsort braucht bei großen Eingaben weniger Speicher als jeder andere Sortieralgorithmus
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AWeil er nur für W = 0 funktioniert
  2. BWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  3. CW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
  4. DWeil n immer klein ist
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AAufsteigend sortierter Reihenfolge
  2. BImmer absteigender Reihenfolge
  3. CEinfügereihenfolge
  4. DEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Garantie geben die Regeln eines Rot-Schwarz-Baums für die Höhe eines Baums mit n Schlüsseln?

  1. ADie Höhe beträgt genau log2 n
  2. BDie Höhe beträgt höchstens n / 2
  3. CDie Höhe beträgt höchstens log2 n + 1
  4. DDie Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 18 Knoten und 29 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.GraphentheorieSchwer
6111341010179ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell

Warum das die Antwort ist

Für kleine n schlägt die einfache Schleife von Insertionsort den Rekursions-Overhead von Quicksort oder Mergesort, obwohl sie O(n²) ist.

Antwort

A · Insertionsort hat wenig Overhead und ist bei kleinen oder fast sortierten Eingaben schnell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

C · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

A · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)

Warum das die Antwort ist

Jeder Pfad hat gleich viele schwarze Knoten, und rote Knoten dürfen nicht benachbart sein, daher ist der längste Pfad höchstens doppelt so lang wie der kürzeste, was eine Höhe von O(log n) ergibt.

Antwort

D · Die Höhe beträgt höchstens 2 log2(n + 1)
5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

18 − 1 = 17

Zu entfernende Kanten

k = 29 − 17 = 12

Antwort

k = 12
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 26

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 6
B (6): C: 17, D: 19, G: 7
G (7): C: 14, D: 16
C (14): E: 18
D (16): F: 26
E (18)
F (26)

Kürzester Weg

A → B → G → D → F
d(F) = 26

Antwort

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms