Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1)-Arbeit?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Eine topologische Sortierung ist nur möglich für:

  1. AVollständige Graphen
  2. BUngerichtete Graphen
  3. CGraphen mit negativen Gewichten
  4. DGerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.DatenstrukturenMittel

Du hast eine Referenz auf einen Knoten in der Mitte einer Liste. In welcher Liste kannst du ihn in O(1) entfernen?

  1. AIn einer einfach verketteten Liste
  2. BIn einem sortierten Array
  3. CIn einer doppelt verketteten Liste
  4. DIn einem dynamischen Array
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Regel müssen Hash und Gleichheit befolgen, damit eine Hashtabelle korrekt funktioniert?

  1. AGleiche Hashwerte bedeuten gleiche Schlüssel
  2. BHashwerte müssen Primzahlen sein
  3. CVerschiedene Schlüssel müssen verschiedene Hashwerte haben
  4. DGleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
1315136651515ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der innere Rumpf wird insgesamt n(n + 1) / 2-mal ausgeführt, was immer noch quadratisch ist.

Antwort

B · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)

Warum das die Antwort ist

Eine topologische Ordnung existiert genau dann, wenn der gerichtete Graph keine Zyklen hat; sie lässt sich in O(V + E) mit DFS oder dem Kahn-Algorithmus finden.

Antwort

D · Gerichtete azyklische Graphen (DAG)
3.Datenstrukturen

Antwort: C · In einer doppelt verketteten Liste

Warum das die Antwort ist

Ein doppelt verketteter Knoten kennt seinen Vorgänger, daher kannst du prev und next direkt neu verbinden; eine einfach verkettete Liste muss den Vorgänger erst suchen.

Antwort

C · In einer doppelt verketteten Liste
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben

Warum das die Antwort ist

Würden zwei gleiche Schlüssel unterschiedlich gehasht, lägen sie in verschiedenen Buckets und Suchen würden fehlschlagen; ungleiche Schlüssel dürfen sich trotzdem einen Hash teilen.

Antwort

D · Gleiche Schlüssel müssen gleiche Hashwerte haben
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 31

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13, C: 15
B (13): D: 26, E: 28
C (15): E: 21
E (21): F: 36
D (26): F: 31
F (31)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 31

Antwort

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms