Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum erreicht die binäre Suche auf einer einfach verketteten Liste keine Laufzeit von O(log n)?

  1. ADie binäre Suche braucht mindestens doppelt so viel Speicher
  2. BVerkettete Listen können nicht sortiert werden
  3. CDas Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
  4. DVergleiche auf Knoten verketteter Listen sind langsamer
3.DatenstrukturenMittel

Wie findest du den kleinsten Schlüssel in einem binären Suchbaum?

  1. ANur die Wurzel ansehen
  2. BVon der Wurzel aus den rechten Kindern folgen, bis es kein rechtes Kind mehr gibt
  3. CVon der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
  4. DJedes Blatt besuchen und vergleichen
4.DatenstrukturenSchwer

Das Löschen eines Knotens mit zwei Kindknoten aus einem binären Suchbaum erfolgt üblicherweise durch:

  1. AVertauschen mit der Wurzel
  2. BErsetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
  3. CEntfernen des gesamten Teilbaums
  4. DDen darunterliegenden Teilbaum von Grund auf neu aufbauen und jeden darin enthaltenen Schlüssel erneut einfügen
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 4, 3 Knoten vom Grad 5, 3 Knoten vom Grad 2, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Das Problem halbiert sich bei jedem Schritt mit konstantem Aufwand pro Schritt, also gibt es etwa log₂ n Schritte.

Antwort

D · O(log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt

Warum das die Antwort ist

Die binäre Suche braucht O(1)-Zugriff auf die Mitte; in einer verketteten Liste kostet der Weg dorthin lineare Zeit, sodass die Gesamtlaufzeit O(n) ist.

Antwort

C · Das Erreichen des mittleren Elements kostet O(n) Schritte, da es keinen direkten Indexzugriff gibt
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt

Warum das die Antwort ist

Zum linkesten Knoten gibt es keinen kleineren Schlüssel im Baum, also ist er das Minimum; die Kosten sind proportional zur Höhe.

Antwort

C · Von der Wurzel aus den linken Kindern folgen, bis es kein linkes Kind mehr gibt
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens

Warum das die Antwort ist

Der In-Order-Nachfolger hat höchstens ein Kind, daher lässt er sich leicht entfernen, nachdem sein Schlüssel in den zu löschenden Knoten kopiert wurde.

Antwort

B · Ersetzen durch seinen In-Order-Nachfolger (oder -Vorgänger) und Löschen dieses Knotens
5.Graphentheorie

Antwort: L = 21

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Antwort

L = 21

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

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