Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welcher Algorithmus findet die kürzesten Wege von einem Startknoten in einem Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten?

ATiefensuche (DFS)
BBellman-Ford ist in allen Fällen erforderlich
CKruskal-Algorithmus
DDijkstra-Algorithmus

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Worin unterscheidet sich ein unentscheidbares Problem von einem praktisch unlösbaren (intractable)?

APraktisch unlösbare Probleme können von keinem Algorithmus gelöst werden, unentscheidbare brauchen nur exponentielle Zeit
BUnentscheidbare Probleme liegen in NP, praktisch unlösbare in P
CEin unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist
DBeides bedeutet, dass es für das Problem überhaupt keinen Algorithmus gibt

3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

A2h + 1
B2^h+1 − 1
Ch²
D2^h

4.DatenstrukturenSchwer

Wie kannst du mit O(1) zusätzlichem Speicher erkennen, ob eine einfach verkettete Liste einen Zyklus enthält?

AJeden besuchten Knoten in einem Hash-Set speichern
BDie Knoten zählen, bis die Zahl das Längenfeld der Liste übersteigt
CDie Liste sortieren und nach Duplikaten suchen
DEinen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K₅? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K₅

H =

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Dijkstra-Algorithmus

Warum das die Antwort ist

Der Dijkstra-Algorithmus funktioniert mit nichtnegativen Gewichten; Bellman-Ford kommt mit negativen Gewichten zurecht; Kruskal baut minimale Spannbäume.

Antwort

D · Dijkstra-Algorithmus

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist

Warum das die Antwort ist

Für das Halteproblem gibt es überhaupt keinen Algorithmus; ein NP-schweres Problem wie das TSP lässt sich per Brute Force lösen, nur nicht in bekannter polynomieller Zeit.

Antwort

C · Ein unentscheidbares Problem hat keinen Algorithmus für alle Eingaben; ein praktisch unlösbares hat einen, der aber zu langsam ist

3.Datenstrukturen

Antwort: B · 2^h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2^h ergibt 2^h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

B · 2^h+1 − 1

4.Datenstrukturen

Antwort: D · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

Warum das die Antwort ist

Bei Floyds Algorithmus holt der schnelle Zeiger den langsamen irgendwann ein, wenn es einen Zyklus gibt; andernfalls erreicht der schnelle Zeiger null.

Antwort

D · Einen Zeiger um einen Schritt und einen anderen um zwei Schritte bewegen und prüfen, ob sie sich treffen

5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 18

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 4, C: 8

B (4): D: 13, E: 10

C (8)

E (10): F: 22

D (13): F: 18

F (18)

Kürzester Weg

A → B → D → F

d(F) = 18

Antwort

d(F) = 18

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