Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat Quicksort im Worst Case?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. ALösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  2. BJedes Problem in P liegt auch in NP
  3. CEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  4. DNP bedeutet „nicht polynomiell“
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird in einer zirkulären Queue, die in einem Array der Kapazität n gespeichert ist, die nächste Position nach Index i berechnet?

  1. Ai + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C(i − 1) mod n
  4. D2i + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Ein dynamisches Array verdoppelt sich, wenn es voll ist. Warum verkleinern es viele Implementierungen erst, wenn es zu einem Viertel gefüllt ist, und nicht schon bei halber Füllung?

  1. AWeil Halbieren bei halber Füllung Elemente verlieren würde
  2. BWeil der Speicherverwalter Speicher nur in Vierteln eines Blocks freigeben kann
  3. CUm das Array sortiert zu halten
  4. DUm wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
111917114912ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Bei durchgehend schlechten Pivots (z. B. bereits sortierte Eingabe und das erste Element als Pivot) sind die Partitionen unausgeglichen, was O(n²) ergibt. Der Average Case ist O(n log n).

Antwort

B · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

B · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: B · (i + 1) mod n

Warum das die Antwort ist

Die Modulo-Operation lässt Index n − 1 wieder auf 0 umlaufen, sodass das Array ohne Verschieben von Elementen wiederverwendet wird.

Antwort

B · (i + 1) mod n
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln

Warum das die Antwort ist

Verkleinern bei halber Füllung könnte in einer solchen Folge bei jeder Operation ein Umdimensionieren auslösen; der Abstand zwischen 1/4 und voll hält die amortisierten Kosten bei O(1).

Antwort

D · Um wiederholtes Umdimensionieren zu vermeiden, wenn sich push und pop nahe der Grenze abwechseln
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

D, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: W = 35

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BD (1): nehmen
DE (9): nehmen
AB (11): nehmen
BE (12): überspringen, schließt einen Kreis
CE (14): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 9 + 11 + 14 = 35

Antwort

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms