Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Zeitkomplexität des naiven rekursiven Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ist:

  1. AKonstant
  2. BExponentiell
  3. CLogarithmisch
  4. DLinear
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. AJedes Problem in P liegt auch in NP
  2. BEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  3. CNP bedeutet „nicht polynomiell“
  4. DLösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. APräfixsuchen wie Autovervollständigung
  2. BDas Speichern von Matrizen
  3. CDas Sortieren von Zahlen
  4. DDas Finden kürzester Wege
4.DatenstrukturenSchwer

Ein Segmentbaum (Segment Tree) wird typischerweise verwendet, um:

  1. AEinen Stack zu implementieren
  2. BZeichenketten alphabetisch zu sortieren, indem jedes Präfix in einem eigenen Baumknoten gespeichert wird
  3. CBereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
  4. DDie Kanten eines Graphen zu speichern
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 2 führen von E nach D? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Exponentiell

Warum das die Antwort ist

Der Aufrufbaum wächst ungefähr wie φⁿ (etwa 1,618ⁿ). Memoisation reduziert dies auf O(n).

Antwort

B · Exponentiell
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

A · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

A · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten

Warum das die Antwort ist

Ein Segmentbaum speichert Aggregate für Intervalle und unterstützt Bereichsabfragen und Punktaktualisierungen in O(log n) Zeit.

Antwort

C · Bereichsabfragen (z. B. Bereichssummen) und Aktualisierungen in O(log n) zu beantworten
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 + 0·1 = 1

Antwort

N = 1

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