Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der Bellman-Ford-Algorithmus auf einem Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie hoch sind die amortisierten Kosten für das Inkrementieren eines Binärzählers, wenn ein einzelnes Inkrement viele Bits umschalten kann?

  1. AO(1) pro Inkrement
  2. BO(log n) pro Inkrement
  3. CO(n log n) pro Inkrement
  4. DO(n) pro Inkrement
3.DatenstrukturenMittel

Wie viele Knoten hat ein perfekter Binärbaum der Höhe h, wenn die Höhe in Kanten gezählt wird?

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h+1 − 1
4.DatenstrukturenSchwer

Welche Operationen unterstützt ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree) über einem Array von n Zahlen in O(log n)?

  1. ASortieren des Arrays und binäre Suche
  2. BFinden des Medians in O(1)
  3. CEinfügen von Elementen an beliebiger Position
  4. DPräfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 9 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 9|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
12713109727ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(V × E)

Warum das die Antwort ist

Jede der V − 1 Runden relaxiert alle E Kanten, das ergibt O(VE); dafür kann er mit negativen Kantengewichten umgehen.

Antwort

A · O(V × E)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(1) pro Inkrement

Warum das die Antwort ist

Über n Inkremente schaltet Bit i etwa n / 2ⁱ-mal um, also sind es insgesamt weniger als 2n Umschaltungen, im Durchschnitt O(1) pro Inkrement.

Antwort

A · O(1) pro Inkrement
3.Datenstrukturen

Antwort: D · 2h+1 − 1

Warum das die Antwort ist

Die Summe 1 + 2 + 4 + ... + 2h ergibt 2h+1 − 1; zum Beispiel ergibt Höhe 2 genau 7 Knoten.

Antwort

D · 2h+1 − 1
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente

Warum das die Antwort ist

Ein Fenwick-Baum speichert Teilsummen über Bereiche, die durch die niedrigen Bits jedes Index bestimmt werden, daher kosten Präfixsummen und Punktaktualisierungen jeweils O(log n).

Antwort

D · Präfixsummen-Abfragen und Aktualisierungen einzelner Elemente
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

9 − 1 = 8

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 8 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 12, C: 7
2. C (7)
3. B (12): D: 22, E: 19
4. E (19): F: 21
5. F (21)
6. D (22)

Runde 4

E

Antwort

E

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