Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was misst die amortisierte Analyse?

  1. ADie erwarteten Kosten über zufällige Eingaben
  2. BDie durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
  3. CDie Kosten eines Algorithmus bei der besten Eingabe
  4. DDie Kosten der einzelnen teuersten Operation irgendwo in der Folge
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum kann der Dijkstra-Algorithmus falsche Ergebnisse liefern, wenn einige Kantengewichte negativ sind?

  1. AEin Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
  2. BEr gerät bei jeder negativen Kante in eine Endlosschleife
  3. CEr funktioniert nur auf ungerichteten Graphen
  4. DNegative Zahlen können nicht in einer Prioritätswarteschlange gespeichert werden
3.DatenstrukturenMittel

Ein Binärbaum hat die Wurzel 1 mit linkem Kind 2 und rechtem Kind 3; Knoten 2 hat die Kinder 4 (links) und 5 (rechts). Wie lautet die Pre-Order-Traversierung?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 3 4 5
4.DatenstrukturenSchwer

Was macht ein Splay-Baum nach jedem Zugriff?

  1. AEr baut den ganzen Baum in balancierter Form neu auf
  2. BEr färbt die Knoten auf dem Suchpfad um
  3. CEr verschiebt den zugegriffenen Knoten zu einem Blatt
  4. DEr rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
101491012261313214ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen

Warum das die Antwort ist

Die amortisierte Analyse verteilt die Kosten seltener teurer Operationen auf viele billige und liefert so einen garantierten Durchschnitt für jede Folge.

Antwort

B · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben

Warum das die Antwort ist

Der Greedy-Schritt beruht auf nichtnegativen Gewichten, damit entnommene Distanzen endgültig sind; bei möglicherweise negativen Gewichten verwendet man Bellman-Ford.

Antwort

A · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 1 2 4 5 3

Warum das die Antwort ist

Pre-Order besucht 1, dann seinen linken Teilbaum (2, 4, 5), dann 3; die anderen Optionen sind In-Order, Post-Order und Level-Order.

Antwort

B · 1 2 4 5 3
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Er rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch

Warum das die Antwort ist

Splaying bringt den zugegriffenen Knoten durch Rotationen in die Wurzel; eine einzelne Operation kann O(n) kosten, aber die amortisierten Kosten betragen O(log n).

Antwort

D · Er rotiert den zugegriffenen Knoten bis zur Wurzel hoch
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 28

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 10, C: 14
B (10): D: 20, G: 23
C (14): E: 26
D (20): E: 22, G: 22
E (22): F: 28
G (22)
F (28)

Kürzester Weg

A → B → D → E → F
d(F) = 28

Antwort

d(F) = 28

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